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王道一:数学没有皇家之路,只有Google Map...

王道一,台湾大学经济学教授,加州大学洛杉矶分校博士。
 
[2015增补] 由于经研所新生这礼拜开始上math camp了,因此决定把之前教研一必修时,被office hour的问题所触发、关于学习数学的心得改成note。唯一要狗尾续貂的一件事情是纪录雄哥说过的名言:『我也不晓得数学有甚麽秘诀,我只知道「做习题」而已。』这个大概是「自己上路」最好的解读了!
 
数学没有皇家之路,只有Google Map...
 
最近有学生问我,为什麽没有办法很快读懂一本用数学写的教科书(即便课本的标题是「个体经济理论」之类的)。
 
我的第一个反应是,你的「很快」到底是多快?一小时十页吗?为什麽预期你可以很快地读懂一堆希腊字母?是因为你读其他书可以一目十行吗?
 
这边的问题是,用数学写的教科书是知识密度非常高的东西,因此不太可能一目十行。(心裡OS:我自己一小时能读懂五页就不错了。)
 
更重要的是,这种教科书的念法跟其他教科书很不一样,因为它其实比较像是Google Map,目的是指引你该怎麽从起点走到终点,而非写得像是「圣经」一样,句句是真理。因此,即使是相同的科目,每本教科书的「建议路线」可能都不太一样。
 
结伴同行,有福同享、有难同当
 
更重要的是,这些「建议路线」都还只是「建议路线」,目的是帮助你自己去走一遭。所以,读这种书最好的办法是结伴同行。组个读书会,至少迷路了还有同伴可以互相帮忙。
 
这边要注意的是,即使你自觉是「路痴」,在读书会中还是有绝大的贡献,因为大部分宣称自己懂的人(包括你的教授在内!),其实都没有真的弄懂。真的弄懂的人,多半是教人家的时候教到自己先懂的。
 
而且,能够帮那些已经懂九成的人抓出剩下不够懂的那一成,这个可是能够让别人从A到A+喔!
 
组团之后该怎麽上路呢?
 
首先,上路前要先确认起点位置,也就是弄懂所有的定义和假设。这个时候,你可能会发现,书末的索引非常有用,因为一个定义(或假设)通常是建立在另一个定义上面的。
 
因此你必须发挥打破砂锅问到底的精神,不断地往前追问:这个定义是甚麽意思?(心裡OS: 这就是所谓的「知识密度高」。也难怪上数学系的课,如果不是每天複习的话,几个礼拜之后就变成鸭子听雷了!)
 
知道了起点还不够,你还需要知道你要去的终点在哪裡。
 
所以你在精读每一个章节之前,应该先确定自己了解它的主要定理和推论结果。和理解定义一样,你也需要发挥追本溯源的精神,不断往下挖掘定理所根据的定义,才能完全理解。
 
最后一步,自然是自己上路咯!
 
没有人可以「键盘观光」,路上的风景不能只是用估狗街景欣赏,而是必须自己亲自体会。所以,你必须自己试著从起点的定义、假设出发,一步步走到最后结果、定理的终点,而课本上的证明也只是参考,就像是Google Map一样。
 
但是正如Google Map对于初来乍到的人很有帮助,跟著一本好课本的证明走,你比较能够抵达终点。而且结伴同行的话,迷路或卡关的时候还可以互相拉一把。
 
Joseph
 
后记:希望这样的介绍,可以让第一次念用数学写的教科书的人,一路上走得轻鬆一点,虽然 Life is Tough!
 
然后,我其实很同意人生不是每件事情都需要数学,但是,当你需要精确的把一件事情讲清楚的时候,数学可以帮助你,特别是当你需要弄清楚是甚麽时候会有甚麽结果。
 
举例来说,有人念过大二经济学以后就觉得只要会微分就行了。问题是,限制条件下极大化的问题遇到角解的时候怎麽办?
 
人生许多问题都是「全有全无」的选择,比如说选择职业,这可不是微分等于零可以解决的。更重要的是,如果你的效用函数不可微怎麽办?
 
如果你看不懂上面这几句所讲「微分等于零」的问题,表示你完全没有意识到你学到的方法有其适用范围、有其侷限。这样其实是很危险的。像2008-2009发生金融海啸,很大一部分的问题就是来自之前有一群人拼命套公式,却没有先搞清楚其适用范围与基本假设。
 
 
 
(编辑:彭宣朝)
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